Zoek
English
  Studiegidsen 2006-2007
Radboud UniversiteitStudiegidsenFaculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica > Bachelor Wiskunde

Maat en Integraal 

Vakcode
WB023B
Studiepunten
6
Periode
Najaar
Werkvormen
  • 30 uur hoorcollege
  • 30 uur werkcollege
Leerdoelen
De student kan omgaan met sigma-algebra's en bewijzen voeren met behulp van voortbrengende stelsels. Hij doorziet de opbouw van de abstracte integratietheorie, beheerst de basisbegrippen ervan, en is vertrouwd met situaties waarin de theorie toepasbaar is.
Beschrijving

Sigma-algebra's en hun voortbrengende stelsels. De Borel-sigma-algebra in R. Maten op sigma-algebra's. Uitbreidingsstelling van Carathéodory. Constructie van de Lebesgue-maat. Integratie; de convergentiestellingen. De Stelling van Fubini. De Stelling van Radon-Nikodym.

U hebt in het eerste en tweede jaar kennisgemaakt met de Riemannintegraal en twee uitbreidingen daarvan: de integraal voor functies van meer veranderlijken en de Stieltjesintegralen. Voor toepassingen, met name in de Analyse, de Stochastiek en de Statistische Mechanica, heeft het nut, het begrip 'integraal' nog verder te generaliseren. Enerzijds wordt de theorie daardoor een stuk abstracter, anderzijds gaat hij heel wat andere bruikbare speciale gevallen omvatten. De abstracte situatie blijkt ook het juiste kader te zijn voor verdieping van de theorie van de 'gewone' integraal. Een voorbeeld: Heb je op een of ander interval een rij Riemannintegreerbare functies die puntsgewijs naar 0 convergeren, dan rijst de vraag of ook hun integralen naar 0 gaan. In het algemeen is het antwoord 'nee', maar het is 'ja' als alle waarden van alle functies in de rij tussen 0 en 37 liggen. Welnu, de gemakkelijkste manier om dat te bewijzen is eerst de theorie uit te breiden en aan meer functies een integraal toe te kennen.
Een hulpmiddel bij deze uitbreiding is het begrip 'maat', een generalisatie van 'lengte' en 'oppervlakte', maar ook van 'kans'.

Tentaminering
Naar keuze van de student: een mondeling tentamen of een collectie opgaven.
Literatuur

Collegedictaat van het Instituut voor Wiskunde